Title: Basis-Wissen (nach K10)

Q: Vereinfache
(a + 3)^2- (2a)^2
A: (a + 3)^2- (2a)^2
= a^2 + 6a +9 - 4a^2
= -3a^2 + 6a + 9

Q: Vereinfache
( 2 - 3a)^2 + (-a +1)^2
A: = 4 - 12a + 9a^2 + a^2 - 2a + 1
= 10a^2 - 14a + 5

Q: vereinfache
[$]\frac {\frac 14 -1}{\frac 23 + 1}[/$]
A: [$]\frac {\frac {-3}4}{\frac 53} = -\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 5} =
- \frac 9{20}[/$]

Q: Multipliziere aus
( a + b )^3
A: ( a + b )^3
=  a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Q: Löse
x^2 + x - 12  = 0
A: [$]x_{ 1,2 }= \frac{ -b \pm \sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{2a  }[/$]
[$]x_{ 1,2 }= \frac{ -1 \pm \sqrt{ 1-4\cdot (-12) } }{2  }[/$]
[$]x_{ 1,2 }= \frac{ -1 \pm 7} {2  }[/$]
x_1= -4 ;  x_2 = 3

Q: Löse
2x^2 - 3x + 1 = 0
A: [$]x_{ 1,2 }= \frac{ -b \pm \sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{2a  }[/$]
[$]x_{ 1,2 }= \frac{ 3 \pm \sqrt{ 9 - 8 } }{4  }[/$]
x_1 = 1  ; x_2 = 0,5

Q: Bestimme die Gerade durch
 P(-1|8) und Q(4|-2)
A: g: y = mx + c
[$] m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ -2 - 8}{4+1} [/$]
m = -2
y = -2x + c
Punktprobe mit P => c = 6
y = -2x + 6

Q: Löse
[$]x - \frac 2x +1 = 0[/$]
A: [$]x - \frac 2x +1 = 0  | \cdot x[/$]
x^2 - 2 + x = 0
x^2 + x - 2 = 0
[$]x_{ 1,2 }= \frac{ -1 \pm \sqrt{ 1 +8 } }{2  }[/$]
x_1 = -2  ;  x_2 = 1

Q: Berechne den Schnittpunkt
g:  y = 5x + 3
h:  y = 4x - 1
A: 5x + 3  = 4x - 1
x = -4
S( - 4 | - 17 )

Q: Berechne x
A: [$]\frac x1 = \frac {3+2}2[/$]
x = 2,5

Q: Löse die Gleichung
x^3 - 4x^2 = 0
A: x^3 - 4x^2   = 0
x^2•(x - 4) = 0
x_1 = 0  und x_2 = 4

Q: Löse die Gleichung
2x^3 - 8x = 0
A: 2x^3 - 8x = 0
2x•(x^2 - 4) = 0
x_1=0  ; x_2= -2 ; x_3= 2

Q: Löse die Gleichung
2x^3 + 8x = 0
A: 2x^3 + 8x = 0
2x•(x^2+4) = 0
x = 0  einzige Lösung

Q: Berechne x
A: x^2 + 6^2 =  12^2
^
x^2         = 144 -36
[$]x = \sqrt{108}[/$]

Q: Berechne x
A: (2x)^2 + x^2  = 625
5x^2           = 625
x^2 = 125
[$]x = \sqrt{125} = 5 \cdot \sqrt 5[/$]

Q: Vereinfache
(1+a)^2 - 2•(a - 3) + 3a
A: (1+a)^2 - 2•(a - 3) + 3a
= 1 + 2a + a^2 -2a + 6 + 3a
= a^2 + 3a + 7

Q: Rechne ohne TR
[$]\frac 23 - \frac 34[/$]
A: [$]= \frac{2 \cdot 4 - 3 \cdot 3}{12}[/$]
[$]=  - \frac 1{12}[/$]

Q: vereinfache
[$]\frac{\sqrt {a^3} \cdot \sqrt[3]{a^2}}{a^2}[/$]
A: [$]a^{(\frac 32 + \frac23 -2)} = a^{ \frac 16}[/$]

Q: löse die Gleichung
[$]\sqrt x + x -2 = 0[/$]
A: Wurzel isolieren
[$]\sqrt x = 2 - x \; | q[/$]
x = 4 - 4x + x^2
^
x^2 - 5x + 4 = 0
x_1= 1   ;  x_2=4      Probe ok

Q: Bestimme die Gerade
durch A(1|7) und B(4|13)
A: y = mx + c
[$]m= \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac{13-7}{4-1}[/$]
m = 2
Punktprobe mit A  => c = 5
y = 2x + 5

Q: Bestimme k
[$]x^2 \cdot \sqrt x = x^k [/$]
A: [$]x^{(2+\frac 12)} = x^k[/$]
[$]k = \frac 52[/$]

Q: Bestimme x
(2 + x)^2 = 36
A: x = 4

Q: Bestimme x
(2 - x)^2 = 49
A: x = - 5

Q: Berechne x
x = log_2(8)
A: x = 3     da 2^3 = 8

Q: Berechne x
x = log_3(81)
A: x = 4   da  3^4 = 81

Q: Berechne x
3 = log_x(125)
A: x = 5    da  5^3 = 125

Q: Berechne x
4 = log_x(0,5)
A: x = 16

Q: Berechne x
[$]x = log_3 \sqrt   {27}[/$]
A: [$]log_3 \sqrt   {27} = log_3(3^\frac 32)[/$]
[$]\frac 32 \cdot log_3(3) = \frac 32 \cdot 1[/$]

Q: Berechne x
[$]x = log_3 ( \frac 1{81})[/$]
A: [$]x = log_3 ( \frac 1{81}) = log_3 (3^{-4})[/$]
x = - 4

Q: wie berechnet man
[$]log_3 5[/$]
A: [$]log_3 5 = \frac{ log 5}{log 3} = 1,465 [/$]

Q: Löse
12^x = 4
A: 12^x = 4    | log
log 12^x  =  log 4
x•log 12 = log 4
[$]x = \frac{log 4}{log 12} = 0,557[/$]

Q: Löse
2•3^x = 6
A: 2•3^x = 6  | :2
3^x = 3
x= 1

Q: Berechne x
3•5^x = 27
A: 3•5^x = 27  | :3
5^x = 9       | log
[$]x = \frac {log \,9}{log \,5} [/$]

Q: Löse
12•5^x + 40 = 3•5^x + 265
A: ordnen
9•5^x  =  225  | : 9
   5^x  =  25
x=2

Q: wie geht`s weiter
1, 3, 5, 7, .....
A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ...

Q: wie geht`s weiter
0, 3, 8, 15, 24, ...
A: 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, ...

Q: wie geht`s weiter
0, 2, 6, 12, 20, ...
A: 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56 , ..
n^2 - n

Q: vereinfache
[$]\sqrt[3]{\sqrt x}[/$]
A: [$]= {(x^{\frac 12}})^\frac 13 = x^\frac 16 = \sqrt[6] x[/$]

Q: vereinfache
12^x • 3^-x
A: [$]12^x \cdot (\frac 13)^x = (12 \cdot \frac 13)^x[/$]
= 4^x

Q: 12 Bakterien verdoppeln sich alle 10 Minuten
Wie viele sind es nach einer Stunde
A: B(0) = 12
B(6) = 12^6

Q: 15 Mäuse vermehren sich
pro Monat um ca. 10 Prozent.
Wie viele sind es nach 2 Jahren?
A: m(t) = 15 • 1,1^t     ; t in Monaten
m(24) = 15•1,1^24  = 147

Q: Berechne x
2^x + 2^x+1 = 3^x + 3^x+1
A: 2^x + 2•2^x = 3^x + 3•3^x
3•2^x  =  4•3^x    | log
log (3•2^x ) =  log (4•3^x )
log 3 + x•log 2 = log 4 + x•log 3
x•( log 2 - log 3) = log 4 - log 3
[$]x = \frac{log 4 - log 3}{log 2 - log 3}[/$]

Q: Ein neuer Golf kostet 17000€ und verliert jährlich 21% seines Wertes. Wie viel kostet er nach 8 Jahren?
A: w(t) = 17000 €  • 0,79^t   , t in Jahren
w(8) = 2579 €

Q: Warum gibt es kein Dreieck mit den Seitenlängen
a= 5, b = 13 und c = 7 ?
A: b > a+c

Q: Nach welcher Zeit hat sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 1,5 % verdoppelt?
A: K(t) = K_o•1,015^t    , t in Jahren
1,015^t  =  2
[$]t = \frac{log \,2}{log \,1,015}[/$]
t = 46,5  Jahre

Q: Radium besitzt eine Halbwertszeit von 5 Tagen.
Wie viel von 200g sind nach 30 Tagen noch vorhanden?
A: m(t) = m_0 • 0,5^t  ;  t in 5 Tagesschritten
30 Tagen =>  t=6
m(6) = 200g • 0,5^6  = 3,125g

Q: Welchen Radius besitzt ein Kreis mit dem Umfang
U = 125 cm
A: 2•pi•r  =  125
r = 19,9  cm

Q: Welchen Radius besitzt ein Kreis mit der Fläche
A = 350 cm^2
A: pi•r^2 = 350
r = 10,55 cm

Q: Wie ändert sich die Kreisfläche wenn man den Radius um 15% vergrößert?
A: A1 = pi•r^2
A2 = pi•(1,15•r)^2 = pi • r^2 • 1,15^2
A2 : A1  = 1,15^2 : 1
A2 = 1,32 • A1
Zunahme um 32%

Q: klammere maximal aus
a^3b^2 + a^2b
A: = a^3b^2 + a^2b
= a^2b •(ab + 1)

Q: klammere maximal aus
a^3b^2 + a^2b^3
A: = a^2b^2 • (a+ b)

Q: Volumen eines Kegels?
A: [$]V = \frac 13 Gh = \frac 13 \pi r^2h[/$]

Q: Volumen eines Zylinders
A: V = G•h = pi•r^2•h

Q: Oberfläche eines Zylinders
A: A = 2•G + M
[$]A = 2 \cdot \pi r^2 \;+\; 2\pi rh[/$]

Q: Volumen einer Pyramide
A: V = 1/3 Gh

Q: 10 gleiche Kugeln mit Radius r = 2 cm werden zu einer Kugel verschmolzen.
Berechne den Radius R der neuen Kugel
A: V_neu = 10•V_i
[$]\frac 43 \pi R^3 \; =\; 10 \cdot \frac 43 \pi 2^3[/$]
R^3 = 80
[$]R = \sqrt[3]{80} = 4,3[/$]

Q: n gleiche Kugeln mit Radius r  werden zu einer Kugel verschmolzen.
Berechne den Radius R der neuen Kugel
A: V_neu =  n•V
[$]\frac 43 \pi R^3 \;= \; n \cdot\frac 43 \pi r^3[/$]
R^3 = n•r^3
[$]R = r \cdot \sqrt[3]n[/$]

Q: Berechne den roten Winkel
A: [$] sin \beta = \frac ac ;\; cos \beta = \frac bc ;\; tan \beta = \frac ab[/$]

Q: Löse
2^x  - 16• 2^-x  -  6 = 0
A: 2^x  - 16• 2^-x  -  6 = 0   | • 2^x
^
2^2x - 16  -  6•2^x  = 0
Subst   2^x = z
z^2 - 6z  -  16  =  0
z_1 = -2   =>   x_1 = -1
z_2 =  8   =>   x_2 =  3

Q: Löse
5•3^2x  + 4 = 29
A: 5•3^2x       =  25
3^2x          =  5
[$]2x = \frac{log 5}{log 3}[/$]
[$]x = \frac 12 \cdot\frac{log 5}{log 3}[/$]

Q: vereinfache
[$]\frac{9b^5 + 3^2b^4}{b+1}[/$]
A: [$]\frac{9b^4(b +1)}{b+1} = 9b^4[/$]

Q: Beide Flächen sind gleich groß.
Berechne den Radius R
A: A_2  =  A_1
[$]\pi \cdot R^2 = \frac 34 \pi \cdot 7^2[/$]
[$]R = 7 \cdot \sqrt{\frac 34}[/$]

Q: Aus dem Quadrat wird ein
max. Kreis geschnitten.
Wie viel Prozent ist Abfall?
A: Abfall A  = A_Quad - A_Kreis
[$] A = a^2 - \pi (\frac a2)^2[/$]
[$]A = a^2 \cdot ( 1 - \frac {\pi}4)[/$]
A = a^2• 0,215
Abfall = 21,5%

Q: Leite 2x ab
f(x) =  2•x^2 - 5x + 3
A: f `(x) = 4x - 5
f ''(x) = 4

Q: Leite 3x ab
g(x)  =  2•x^4 - x^3 + 3•x  + 1
A: g '(x) =  8x^3 - 3x^2 + 3
g ''(x) =  24x^2 -  6x
g '''(x) =  48 x -  6

Q: f(x) = a•sin (bx) + c
bestimme a, b und c so,
dass die Kurve K folgende aufeinanderfolgende Extrema hat.
H(2 |3) und T ( 6 |-1)
A: 3 - (-1) = 4   => a = 2  , c=1
6 - 2 = 4       => Periode = 8
=>  b = 2pi/8
f(x) = 2•sin(pi/4 •x) + 1

Q: Bestimme die Tangente an
die Kurve von f an der Stelle x_o
f(x) = 3x^2 - 2x + 1   ;  x_o= 1
A: t: y = f '(x_o)•(x-x_o) + y_o
_
f '(x) = 6x -2
f(1)  = 2   ; f '(1) = 4
t:  y = 4•(x-1) + 2
t: y = 4x - 2

Q: Bestimme die Tangente an
die Kurve von f an der Stelle x_o
f(x) = 4x^2 + 7x + 1   ;  x_o= -2
A: t: y = f '(x_o)•(x-x_o) + y_o
_
f '(x) = 8x + 7
f(-2) = 3   ; f '(-2) = -9
t:  y = -9•(x +2) + 3
t:  y = -9x -15

Q: f(x) = 0,3•x^4 - 5x^2  + 3
Welche Symmetrie liegt vor?
A: f ist eine gerade Fktn.
Achsensymmetrie zur y-Achse

Q: f(x) = x^3 - 4x  + 2
Welche Symmetrie liegt vor?
A: f ist eine ungerade Fktn.
Punktsymmetrie zu (0|0)

Q: f(x) = x^2 - 4x + 1
wo ist f streng monoton fallend
A: f↓      f '(x) < 0
f '(x) = 2x - 4
f '(x) < 0 für alle  x < 2

Q: vereinfache
[$]3 \sqrt 2 + 2 \sqrt2 - 2\sqrt 8[/$]
A: [$]= \sqrt 2[/$]

Q: Gib eine Funktion an, welche
folgende Nullstellen besitzt:
x_1 = 2   , x_2 = 5
A: f(x) = ( x - 2)•(x - 5)
f(x) = x^2 - 7x + 10

Q: Finde zur Kurve K eine
passende Funktion
A: Nullstellen bei x=0 und x=4
=>  f(x) = a•x•(x-4)
Punktprobe mit ( 2 | -2)
=>  a = 0,5

Q: f(x)  = 0,5•x^2 + x +1
g(x) = 0,5•x^2 - x + 1^
welche Funktion zu welcher Kurve ?
A: Punktprobe bei x = 1
f zu blau , g zu rot

Q: Welche Kurve zu welcher Funktion?
f(x)  =  x^2 - 2x + 1
g(x) =  x^2 - 3x + 2
A: Punktprobe mit x = 0
f zu blau und g zu rot