Title: Trigonometrische Funkt.
Tags: Extrema

Q: Berechne
f(x)=cos(2x)
[$]\int\limits_{0}^{π} f(x)\;dx[/$]
A: 0

Q: Berechne
f(x)=sin(x)
[$]\int\limits_{0}^{2π} f(x)\;dx[/$]
A: -2

Q: Berechne
f(x)=sin(x)
[$]\int\limits_{0}^{8π} f(x)\;dx[/$]
A: 0

Q: f(x)=1-cos(πx)
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f an.
A: x=2k
k∊Z

Q: Bestimme die Periode
f(x)=2(sin([$]\frac{π}{2}[/$]x))²
A: p=2

Q: [$]f(x)=2(sin(\frac{\pi}{2}x))^2[/$]
Gib alle Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion an.
A: H(1+2k | 2)   T(2k | 0)   k∈Z

Q: f(x)=2(sin(\frac{π}{2}x))²
Für Welche Werte von x nimmt f im Intervall [0;2] den Wert 1 an?
A: x=0,5
x=1,5

Q: Bestimme c so, dass P auf dem Graphen von f liegt.
f(x)=sin(x+c)
P(1/0)
A: f(1) = sin (1+c) = 0
1+c = kπ    , k∈Z
c= kπ - 1

Q: Bestimme c so, dass P auf dem Graphen von f liegt.
f(x)=csin(x)
P([$] \frac{π}{2c}[/$]/2)
A: c=[$]\frac{4k+1}{2}[/$]    k∈Z

Q: Bestimme die Amplitude und die Periode
f(x)=-sin(4(x+0,2))
A: a=1
p=[$]\frac{1}{2}[/$]π

Q: Bestimme die Amplitude und die Periode
f(x)=0,1sin(100x)
A: a=0,1
p=0,02π

Q: Bestimme die Funktionsgleichung
A: f(x)=2sin(π(x-1)-1

Q: Bestimme die Funktionsgleichung
A: f(x)=5cos(πx)+1

Q: Bestimme die Funktionsgleichung
=
A: f(x)=2sin(2πx+2)-1

Q: Bestimme die Funktionsgleichung
A: f(x)=2cos(2x)+3

Q: Bestimme die Funktionsgleichung
A: f(x)=sin(x+1)-2

Q: Bestimmte die Funktionsgleichung
A: f(x)=3cos(x-1)+1

Q: Bestimme die Funktionsgleichung
A: f(x)=3cos(πx)+1

Skizziere den Graphen
f(x)=3sin(x-2)

Skizziere den Graphen
f(x)=2sin(3(x-π))

Skizziere den Graphen
f(x)=sin(2x+2)

Skizziere den Graphen
f(x)=3cos(2πx)+1

Skizziere den Graphen
f(x)=cos(πx-2)+1

Q: Bestimme die erste und die zweite Ableitung
f(x)=-2sin(3x)+10
A: f'(x)=-6cos(3x)
f''(x)=18sin(3x)

Q: Bestimme die erste und die zweite Ableitung
f(x)=x+sin(2x)-4
A: f'(x)=1+2cos(2x)
f''(x)=-4sin(2x)

Q: Bestimme die erste und die zweite Ableitung
f(x)=0,2sin(5(x+1))-4
A: f'(x)=cos(5x+5)
f''(x)=-5sin(5x+5)

Q: Bestimme die erste und die zweite Ableitung
f(x)=1-cos(2(x-2))
A: f'(x)=2sin(2x-4)
f''(x)=4cos(2x-4)

Q: Bestimme die erste und die zweite Ableitung
f(x)=[$]\frac{1}{3}[/$]sin(πx-2)
A: f'(x)=[$]\frac{1}{3}[/$]πcos(πx-2)
f''(x)=-[$]\frac{1}{3}[/$]π²sin(πx-2)

Q: Berechne
f(x)=3sin(2x)
[$]\int\limits_{0}^{[$]\frac{π}{2}[/$]} f(x)\;dx[/$]
A: 3

Q: Berechne
f(x)=-5cos(3x)
[$]\int\limits_{-π}^{π} f(x)\;dx[/$]
A: 0

Q: Berechne
f(x)=-sin(x)-2
[$]\int\limits_{0}^{4π} f(x)\;dx[/$]
A: 8π

Q: Berechne
f(x)=3cos(x)
[$]\int\limits_{0}^{π} f(x)\;dx[/$]
A: 0

Q: Berechne
f(x)=sin(x)+cos(x)
[$]\int\limits_{0}^{2π} f(x)\;dx[/$]
A: 0

Q: Berechne
f(x)=-5cos(2x)+1
[$]\int\limits_{-π}^{2π} f(x)\;dx[/$]
A: 3π

Q: Bestimme die Nullstellen und die Extremstellen im angegebenen Intervall
f(x)=2sin(x-π)
I=[-π;π]
A: N1(-π/0)
N2(0/0)
N3(π/0)
H([$]\frac{-π}{2}[/$]/2)
T([$]\frac{π}{2}[/$]/2)/-2)

Q: Bestimme die Nullstellen und die Extremstellen im angegebenen Intervall
f(x)=100cos(2(x+π))
I=[0;2π]
A: N1([$]\frac{π}{4}[/$]/0)
N2([$]\frac{3}{4}π[/$]/0)
H1(0/100)
H2(π/100)
H3(2π/100)
T1([$]\frac{1}{2}[/$]π/-100)
T2([$]\frac{3}{2}[/$]π/-100)

Q: Bestimme die Nullstellen und die Extremstellen im angegebenen Intervall
f(x)=-7sin(0,1x)
I=[0;10π]
A: N1(0/0)
N2(10π/0)
T(5π/-7)

Q: Gebe zu der Funktion eine Stammfunktion an, die folgenden Punkt enthält
f(x)=sin(2x-π)
P(π/5)
A: F(x)=-[$]\frac{1}{2}[/$]cos(2x-π)+4,5

Q: Gebe zu der Funktion eine Stammfunktion an, die folgenden Punkt enthält
f(x)=2cos(4x)
P(2π/3)
A: F(x)=[$]\frac{1}{2}[/$]sin(4x)+3

Q: Gebe zu der Funktion eine Stammfunktion an, die folgenden Punkt enthält
f(x)=-[$]\frac{1}{3}[/$]sin([$]\frac{1}{3}[/$]x)+8
P(0/3)
A: F(x)=cos([$]\frac{1}{3}[/$]x)+8x+2

Q: Gebe zu der Funktion eine Stammfunktion an, die folgenden Punkt enthält
f(x)=-5cos(πx-π)
P(1/8)
A: F(x)=-[$]\frac{5}{π}[/$]sin(πx-π)+8

Q: Löse die Gleichung im Intervall I=[-π;π]
cos(2x)=0
A: x=-[$]\frac{3}{4}[/$]π
x=-[$]\frac{1}{4}[/$]π
x=[$]\frac{1}{4}[/$]π
x=[$]\frac{3}{4}[/$]π

Q: Löse die Gleichung im Intervall I=[-π;π]
(sin(x))²+sin(x)-2=0
A: x=[$]\frac{1}{2}[/$]π

Q: Löse die Gleichung im angegebenen Intervall I=[-π;π]
[$]\frac{1}{sin(x)}[/$]+sin(x)=2,5
A: x=[$]\frac{1}{6}[/$]π
x=[$]\frac{5}{6}[/$]π

Q: Löse die Gleichung im Intervall I=[-π;π]
f(x)=cos(x)sin(x)
A: x=-π
x=-[$]\frac{π}{2}[/$]
x=0
x=[$]\frac{π}{2}[/$]
x=π

Q: Die Temperaturschwankungen in Grad Celsius innerhalb eines Tages können durch die Funktion t(x)=5,2sin([$]\frac{π}{12}[/$]x [x in Stunden] beschrieben werden. Dabei entspricht x=0 der Tageszeit 8 Uhr.
(a) Welche Temperatur herrschte um 14 Uhr? Zu welchen Uhrzeiten lag die Temperatur bei etwa -2°C?
(b) Wie hoch war die Durchschnittstemperatur an diesem Tag?
A: (a) t(6)=5,2°C ; t(x)=-2, x=13,5 ; x=22,5 ; d.h. um 22:30 Uhr und um 6:30 Uhr
(b)[$]\frac{1}{24-0}[/$][$]\int\limits_{0}^{24} t(x)\;dx[/$]=0°C

Q: Löse die Gleichung im Intervall I=[-π;π]
cos(x)=[$]\sqrt[2]{[$]\frac{1}{2}[/$]}[/$]
A: x=-[$]\frac{π}{4}[/$]
x=[$]\frac{π}{4}[/$]

Q: Der Pegelstand des Hochwasssers können näherungsweise durch eine trigonometrische Funktion beschrieben werden. Auf den Höchststand von 6,07 Meter am 4.Januar um 8Uhr folgte der nächste Tiefstand von 5,48 Meter am 5.Januar um 15Uhr.
(a) Ermittle eine mögliche Funktion
(b) Welchen Pegelstand lag demnach am 6.Januar um 12Uhr vor?
(c) Bestimme den mittleren Pegelstand am 4.Januar zwischen 0 und 24 Uhr.
A: (a) p(t)=0,295cos([$]\frac{π}{31}[/$]t)+5,775
(b) p(52)=5,93Meter
(c) [$]\frac{1}{24}[/$][$]\int\limits_{-8}^{16} p(t)\;dx[/$]=5,98Meter

Q: Der Wasserstand an einer Küste schwankt zwischen 1Meter bei Niedrigwasser und etwa 3Meter bei Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t [in Stunden nach Niedrigwasser] modellhaft beschreiben durch
h(t)=a+bcos([$]\frac{1}{6}[/$]πx)
(a) Bestimme die Parameter a und b.
(b) Wie lange liegt der Wasserpegel unter 1,5 Meter? (innerhalb 24 Stunden)
(c) Wie viel Zentimeter je Minute steigt das Wasser maximal?
A: (a) a=2; b=-1
h(t)=2-cos([$]\frac{1}{6}[/$]πt)
(b) Im Intervall [2;10], [14;22], also insgesamt 16 Stunden.
(c) WP bei t=3, 15, 27,... (Das Wasser steigt hier um 0,52cm pro Minute)