Title: Analysis_1

Was kannst Du über die Kurve von f ohne KUDI sagen?
[$]f(x) = \frac{x^2}{x-1}[/$]

Q: Bestimme den Abstand der Punkte
A und B
A: [$]d = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}[/$]

Q: Berechne den Abstand der Punkte A(1|2)  und B(3|-4)
A: [$]d = \sqrt{(1-3)^2+(2+4)^2}[/$]
[$]d = \sqrt {40}[/$]

Q: Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(1|-3) und B(5|1)
A: [$]m=\frac{1+3}{5-1} = 1[/$]
g:  y = x - 4

Q: Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(2|1) und B(5|7)
A: [$]m =\frac{ \Delta y}{\Delta x }[/$]
[$]m= \frac{7-1}{5-2}=\frac63= 2[/$]
Punktprobe mit A oder B liefert
y= 2x - 3

Q: Welche Nullstellen besitzt die Parabel
y = x² - 6x +8
A: mit der Mitternachtsformel
x1 = 2   und   x2 = 4

Q: Bestimme die Gleichung einer Parabel vom Grad 3
welche die 3 Nullstellen   1 ;  3  -2   besitzt.
A: y = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Q: Skizziere die Kurve von:
f(x) = x³ - 4x²
A: f(x) = x²(x - 4)

Q: Wie berechnet man den Abstand eines Punktes P
von einer Geraden g ohne GTR ?
A: 1)  Senkrechte Gerade zu g durch P aufstellen
2)  diese mit g schneiden  =>  S
3)  d(P,S) = d(P,g)

Q: Wie lautet die Quotientenregel
A: [$]\left ( \frac{u}{v} \right )'= \frac{u'v - v'u}{v^2}[/$]

Q: Berechne die Ableitung von
[$]f(x) = \frac{x}{x-1}[/$]
A: [$]f'(x)= \frac{1(x-1) - 1x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}[/$]

Q: ergänze die Tabelle
[latex]\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1\\
\hline
y & 3 & 8 & 15 &  &   &  \\
\end{tabular}
\end{minipage}[/latex]
A: Lösung
[latex]\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1\\
\hline
y & 3 & 8 & 15 & 24 &  35 & 0 \\
\end{tabular}
\end{minipage}[/latex]

Q: Löse die Gleichung:
[latex]
\begin{align*}
  \frac 3x   & = x + 2 \\
\end{align*}
[/latex]
A: [latex]
\begin{align*}
  \frac 3x   & = x + 2 \\
  3   & = x^2 + 2x \\
  0   & = x^2 + 2x - 3 \\
\end{align*}
[/latex]
Lösung mit Mitternachtsformel:
[$]x_1 = -3 , x_2 = 1[/$]

Q: Gib eine gebrochen rationale Funktion an,
deren Kurve folgende Asymptoten hat
x = 2   und   y = x - 1
A: [$]f(x) = x - 1 + \frac {1}{x-2}[/$]

Q: Gib eine gebrochen rationale Funktion an,
deren Kurve folgende Asymptoten hat
x = -1 und y = 2
A: [$]f(x) = \frac{2x}{x+1}[/$]

Q: Gib eine gebrochen rationale Funktion an
mit den Eigenschaften:
Asymptoten  x = 3  , y = 4  und  doppelte NS bei x=0
A: [$]g(x) = \frac{4x^2}{(x-3)^2}[/$]

Q: wie berechnet man
[$]\int\limits_{1}^{\infty} \frac{3}{x^2}\;dx[/$]
A: man setzt eine feste Grenze z
und lässt zum Schluss z gegen unendlich laufen
[$]\lim\limits_{z \to \infty} \; \int\limits_{1}^{z} \frac{3}{x^2}\;dx[/$]

Q: suche eine passende Funktion
A: Asymptoten   x = -2  , x = 2 , y = 1,
HP im Ursprung
[$]f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}[/$]

Q: Berechne x
[$]\frac2{x+1} = \frac{x-1}2[/$]
A: [latex]\begin{align*}
  \frac2{x+1}   & = \frac{x-1}2   \bigg| \cdot 2(x+1) \\
  4   & = x^2 - 1 \\
  5   & = x^2 \\
\end{align*}[/latex]
Lösung:  [$]x_1 = - \sqrt5  ;\;\;   x_2 =  + \sqrt5[/$]

Q: P( 1| 1 ) , Q( 2| 2 ) , R( -2 | -9)
liegen die Punkte auf der Geraden g ?
g: y = 3x - 4
A: nur Q erfüllt die Gleichung

Q: Wie berechnet man mit dem GTR
den (kürzesten)
Abstand Punkt - Kurve
A: A(a1 | a2) ,  P(x|f(x)) allg. Punkt der Kurve  ,
GTR:
y1 = f(x)
y2 = [$]\sqrt{ (a_1-x)^2 + (a_2 - y1)^2}[/$]
Minimum von y2 berechnen

Q: f(x) = x² +x
bestimme die Tangente
an der Stelle x = 1
A: t: y = f '(1) *(x-1) + f(1)
f(1) = 2   ;    f '(1) = 3
Lösung:   y = 3x - 1

Q: Berechne zwei Ableitungen der Funktion
f(x) = x³ - 3x² + 2x - 5
A: f(x) = x³ - 3x² + 2x - 5
f '(x) = 3x² - 6x + 2
f ''(x) = 6x - 6

Q: Gib eine Stammfunktion zu f an:
[$]f(x) = 2x^3 - 3x + 1[/$]
A: [$]F(x) = \frac12 x^4 - \frac 32 x^2 + x[/$]

Q: Berechne
[$]\int\limits_{1}^{2}\, \frac{1}{x^2}\;dx[/$]
A: [$]\int\limits_{1}^{2}\, \frac{1}{x^2}\;dx \;= \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} =
-\frac12 + 1 =  \frac 12[/$]

Q: Berechne
[$]\int\limits_1^2 \, \frac1{x^2} \, dx[/$]
A: [$]\int\limits_1^2 \, \frac1{x^2} \, dx \; = \left[-\frac 1x \right]_{1}^{2}= \\
- \frac12 + 1 = \frac12[/$]

Q: Welche Tangenten an die Kurve
[$]f(x) = \frac13x^3-\frac52 x^2[/$]
sind parallel zu y= -6x + 1
A: f '(x) = x² - 5x  = - 6
x² -5x + 6 = 0
Lösung x = 2  und  x = 3
t1: y = -6(x-2)+ f(2)
    y = -6x + 8,33
t2: y = -6(x-3)+ f(3)

Q: Zeige, die Kurven von f und g berühren sich
A: 1)  f(u) = g(u)
2)  f '(u) = g '(u)
oft beginnt man mit 2)

Q: Zeige, die Kurven berühren sich
f(x) = x² + 3x    ;  g(x) = 5x - 1
A: 1) f = g      2) f' = g'
2)  2x + 3 = 5   =>  x = 1
1)  f(1) = 4 = g(1)

Q: Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB
A(2|-1)  ,  B( 4| 5)
A: M(3|2)

Q: Skizziere die Funktion
f(x) = x³ - 5x² + 6x
A: f(x) = x(x² - 5x + 6)
f(x) = x(x-2)(x-3)

Q: zeige, die Kurven berühren sich
an der Stelle u = 1/3
f(x) = x² + 1   ;  g(x) = -0,5x²+x + 5/6
A: f(1/3) = 10/9  =  g(1/3)
f '(1/3) = 2/3 = g '(1/3)

Q: [$]f(x) = \frac1{x^2} +1 [/$]
Die Kurve von f, die x-Achse und ein senkrechter Streifen der Breite 2 begrenzen eine Fläche  mit Inhalt 1,5.
Bestimme die Streifen-Geraden.
A: [$]\int\limits_z^{z+2} (\frac1{x^2}+1) dx = 1,5[/$]
GTR , Integralfunktion , ycalc =1,5

Q: Die Schnittstelle zweier Kurven ist doppelt.
Bedeutung?
A: Die Kurven berühren sich.

Q: Die Nullstelle einer Kurve ist doppelt.
Bedeutung ?
A: Es liegt ein HP oder TP vor

Q: [$]f(x) = \frac{x+1}{x-1}[/$]
A(3| a) liegt auf der Kurve.
Bestimme a
A: A(3|2)

Q: Bestimme die Funktiongleichung
A: f(x) = a(x+1)(x-3)   Nullstellen
f(1) = 2 = -4a         ==>  a = -0,5
f(x) = -0,5x² + x + 1,5

Q: [$]f(x) = x \cdot e^x[/$]
Berechne die Ableitung
A: [$]f '(x) = 1\cdot e^x + e^x \cdot x[/$]

Q: überprüfe ob Max den Punkt A sehen kann
A: schneidet die Gerade g(A,M) den Hügel?

Q: wie weit muß Max nach Rechts gehen bis er den Punkt A sieht?
A: Tangente in A mit der Waagrechten schneiden

Q: Zusammenhang zwischen den Funktionen f und g
A: g(x) = f(x+4)
C ist um 4 nach links verschoben

Q: Zusammenhang zwischen den Funktionen
A: K ist um 2 in y-Richtung verschoben
g(x) = f(x) +2

Q: Zusammenhang zwischen den Kurven
A: K ist an der y-Achse gespiegelt
g(x) = f(-x)

Q: Zusammenhang zwischen den Kurven
A: K wird an der y-Achse gespiegelt
g(x) = f(-x)

Q: welches ist der tiefste Punkt des Tals, den Max sieht?
A: Tangente an die Kurve durch M

Q: f(x) = x³ - x²+1
beschreibt den Höhenverlauf einer Landschaft.
Wie hoch ist die mittlere Höhe
im Abschnitt [-2,3]
A: [$]m= \frac15\int\limits_{-2}^3 (x^3-x^2+1)dx[/$]
[$]=\left[ \frac14 x^4-\frac13 x^3+x\right]_{-2}^{3}[/$]
=14,92

Q: Die Kurve von
[$]f(x) = \frac{x-2}{x+2}[/$]
rotiert um die x-Achse
Berechne das Volumen für [2 ; 5]
A: [$]V_x= \pi \cdot \int\limits_2^5 \left( \frac{x-2}{x+2} \right)^2 dx[/$]
= 0,746

Wie verläuft die 1.Ableitung ?

Q: f(x) = x² - x³
Welche Stammfunktion zu f enthält den Punkt P( -1|2)
A: [$]F(x) = \frac13 x^3 -\frac14 x^4 +c[/$]
[$]F(-1) = - \frac13 - \frac14 + c = 2[/$]
[$]c = \frac{31}{12}[/$]

Q: f(x) = -0,5x² + 5x
beschreibt einen Hügel. Ein Maulwurf gräbt am Hügel an der Stelle x=2 einen waagrechten Tunnel. Wie lang wird er?
A: f(2) = 8  ==>   x1 = 2  ;  x2 = 8
Tunnellänge 6 Meter

Q: f(x) = -0,5x² + 5x
beschreibt einen Hügel. Ein Maulwurf gräbt am Hügel an der Stelle x=2
einen 8 m langen Tunnel bis zum Ausgang. Wo taucht er auf?
A: A(2|8) B(x|f(x))  Abstand   AB = 8
liefert B(9,06| 4,26)

Q: [$]f(x)=   \frac1x[/$]
schneidet die Kurve die Gerade y = -x +1
(ohne GTR)
A: [$]  \frac1x = -x + 1 | \cdot x[/$]
1 = -x² + x
x² - x + 1 = 0  ; keine Lösung

Q: wie berechnet man die rote Fläche?
A: f und g schneiden  ==>  a und b
[$] A = \int\limits_a^b (g(x) - f(x) ) dx[/$]

Q: wie berechnet man den roten Flächeninhalt
A: f mit g schneiden  ==>  a, b und c
[$]\bigg| \int\limits_a^b f(x) -g(x) ) dx \bigg| +  \bigg| \int\limits_b^c f(x) -g(x) ) dx \bigg| [/$]

Q: welche Bedeutung hat
[$]\int\limits_a^c ( f - g ) dx = 0[/$]
A: die beiden Teilflächen sind gleich groß

Q: wie berechnet man die rote Fläche?
A: Nullstelle von f ist a
Schnittstelle von f und g ist b
[$]\int\limits_a^b f dx + \int\limits_b^7 (g - f) dx[/$]

Q: wie berechnet man die rote Fläche?
A: [$]\lim\limits_{z \to \infty} \int\limits_1^z \frac{1}{x^2} dx[/$]

Q: wie berechnet man die rote Fläche?
A: [$]\lim\limits_ {z \to \infty} \int\limits_ {z}^{2} \frac{1}{x^2} \;dx [/$]

Q: bestimme b so, dass die blauen Flächen gleich groß sind
A: [$]\int\limits_a^b (f - g) \; dx = 0 [/$]
==> b

Q: bestimme u so, dass die beiden Flächen gleich groß sind
A: [$]\int\limits_0^u f(x) \; dx \; = 0[/$]
==> u

Q: berechne die rote Fläche
A: [$]\int\limits_0^2 f(x) \;dx \; - \int\limits_1^2 g(x) \;dx[/$]

Q: für welches p ist die gelbe Fläche maximal?
A: [$]f(x) = - \frac23 x + 8[/$]
A = p * f(p)   .....    Extremwert

Q: f(x) ist stetig und
es gilt f(a) < 0  und  f(b) > 0
was kann man daraus folgern?
A: f(x) besitzt im [a , b] mindestens eine Nullstelle

Q: f(x) ist streng monoton wachsend und
es gilt f(a) < 0  und  f(b) > 0
was kann man daraus folgern?
A: f(x) besitzt im  [a,b]  genau eine Nullstelle

Q: bestimme die Extrempunkte der Kurve f(x)
A: A  absoltes Maximum  ( Randextremum)
B  absolutes Minimum
C  relatives Maximum
D  relatives Minimum  ( Randextremum )

Q: wie lauten die Strahlensätze?
A: [$]\frac ef = \frac cd[/$]
[$]\frac ab = \frac e{e+f}[/$]

Q: [$]f(x) = \sqrt{x-1}[/$]
Die Kurve von f rotiert um die x_Achse
Berechne das Rotationsvolumen Vx
A: [$]V_x = \pi \cdot \int \limits_1^5 y^2 \; dx[/$]
[$]V_x = \pi \int \limits_1^5 (x-1) \; dx = 8 \pi[/$]

Q: wie lautet die Tangentengleichung
A: t :  y = f '(xo)•(x - xo) + yo

Q: Bestimme die Gerade g(A,B)
A( 2 | -3 ) , B( 1 | 5 )
A: [$]m= \frac {\Delta y} { \Delta x} = \frac 8 {-1}[/$]
y = - 8x + 13

Q: g:  y = 3x - 5
welche Gerade h durch C( 2 | 4 )
ist parallel zu g
A: h:  y = 3x - 2

Q: g:  y = 0,5x + 3
welche Gerade h  durch A( -2 | - 8 )
ist senkrecht zu g
A: h:  y = -2x - 12

Q: [$]I(x) = \int \limits_{ -1}^x t \; dt[/$]
Ist blau oder grün die richtige
Kurve der Integralfunktion
A: Blau
da f(x) = x  bei -1 negativ ist

Q: Berechne die Strecke x
A: Pythagoras     a = 4
Strahlensatz    [$]\frac x4 = \frac {3+6}{3} [/$]
x = 12

Q: A(1|-1) , B(2 |1) , C(3|7)
welche Parabel geht durch diese Punkte
A: GTR
Lineares Gleichungssystem
oder Regression liefert
f(x) = 2x² - 4x + 1

Q: Um wie viel Prozent weicht 15 von 17 ab
A: [$] \frac {17-15}{17} = \frac 2{17} = 0,1176[/$]
Abweichung:  11,8 Prozent

Q: f(x) = x² - 2x + 1
Die Kurve von f wird
an der y-Achse gespiegelt.
Gib die neue Funktion g  an.
A: g(x) = f(-x)
= (-x)² - 2(-x) +1
= x² + 4x +1

Q: beide Strecken sollen durch eine Kurve
ohne Knickstellen verbunden werden
A: Funktionswert und 1. Ableitung
an den Punkten (2|2) und (4|5)
f(2) = 2  ; f(4) = 5
f '(2) = 1  ;  f '(4) = 0
[$]f(x) = \frac1{27}x^3 - \frac59 x^2 + \frac {25}9 x - \frac {44}{27}[/$]

Q: [$]f(x) = \frac{x^2}{x^2+1}[/$]
Im Kanal wird eine 3 m breite Wand gebaut.
Berechne die Fläche.
A: f(1,5) = 0,69
[$]A = \int \limits _{-1,5}^{1,5} ( 0,69 - f(x)) \;dx[/$]
A= 1,036

Q: [$]f(x)=\frac {2x^2}{x^2+1}[/$]
Im Tal liegt ein 3,5 m langes Brett.
Der linke Auflagepunkt liegt 0,7m höher als der rechte.
Koordinaten dieser Punkte?
A: Pythagoras d² + 0,7² = 3,5²         d = 3,43
f(x) - 0,7 = f(x+3,43)
A(-2,4 | 1,7)     B(1 | 1 )

Q: welche Stammfunktion zu
[$]f(x) = \frac 1{x^2} - 2x + 1[/$]
geht durch  A( 3 | 1)
A: [$]F(x) = \frac 13 x^3 - 2x^2 +x + c[/$]
F(3) = 1  ==>  c = 7

Q: Löse
[$]x^4 + 5x^2 - 36 = 0[/$]
A: Subst.   x² = z
z² + 5z - 36 = 0
z1 = 4  ==>  x1 = -2 , x2 = 2
z2 = -9  keine reelle Lösung

Q: K:  y= 2x² - 3x + 1
C: y = 2x² - 7x + 6
zeige
verschiebt man K um 1 nach rechts, so erhält man C
A: g(x) = f(x-1)
2(x-1)² - 3(x-1) + 1 = ....

Q: K:  [$]f(x) = \frac{x-1}{x+2}[/$]
Die Kurve K wird um 2 nach links und um 1 in y-Richtung verschoben.
Wie heisst die neue Funktion g?
A: g(x) = f(x+2) + 1
[$]g(x) = \frac{(x+2)-1}{(x+2)+2} + 1[/$]
[$]g(x) = \frac{x+1}{x+4}+1[/$]
[$]g(x) = \frac{2x+5}{x+4}[/$]

Q: [$]f(x) = \frac{x-1}{x+2}[/$]
zeige: f ist streng monoton wachsend
A: Monotoniesatz
[$]f' (x) = \frac{1(x+2)-1(x-1)}{(x+2)^2}[/$]
[$]f' (x) = \frac3{(x+2)^2}  >  0[/$]

Q: zeige: Parabel und Gerade schneiden sich rechtwinklig
p(x) = x² + x
g(x) = 3x -1
A: p(x) = g(x)
x² + x = 3x - 1
x² - 2x + 1 = 0
(x-1)² = 0
doppelte Schnittstelle

Q: Wann sind 2 Geraden parallel
A: bei gleichen Steigungen

Q: g: y = 2x -1
h soll parallel zu g liegen
und P(2|1) enthalten
A: h: y = 2x + b
Punktprobe mit P
h: y = 2x - 3

Q: g: y = 0,5 x + 1
h soll orthogonal zu h sein
und Q( 2| 3 ) enthalten
A: m·n = -1
h: y = -2x + b
Punktprobe mit Q
h: y = -2x + 7

Q: eine Parabel 2.Grades soll symmetrisch
zur Geraden  x = 3 liegen
A: Normalparabel um 3
nach rechts verschieben
y = (x-3)²

Q: für welches k gilt
[$]\frac {x^2 \cdot x^{-3} }{x \cdot x^{-2}} = x^k[/$]
A: [$]x^{2-3-1+2} = x^k[/$]
[$]x^0 = x^k[/$]
k=0

Q: g(x) = f(x-2)
welche Kurve ist f welche g
A: f ist rot
g  ist blau

Q: f ist die rote Kurve
wie sind die blaue und die grüne Kurve
von f abhängig ?
A: blau
g(x) = f(x-3)
grün
h(x) = g(x) + 1
h(x) = f(x-3) + 1