Title: Wahrscheinlichkeit
Tags: Test

Front: 5x würfeln
Wie groß ist die W.mindestens eine 3 zu wüfeln?
Back: p(x>=1)   = 1 - p(x=0)
[$]=1-(\frac 56)^5[/$]
= 1 - 0,402 = 0,598

Front: 5x würfeln
Wie gross ist die W. genau 2 mal eine Vier  zu würfeln?
Back: p(x=2)   =   Binomialverteilt
[$]p(x=2)= \begin{pmatrix} 5 \\ 2  \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6} \right)^2  \cdot \left(\frac{5}{6} \right) ^3[/$]
= 0,161  = 16,1%

Q: Was ist ein Bernoulli Experiment
A: Ein Experiment, welches
genau zwei Ausgänge ( 0 , 1 ) besitzt
die stets gleich wahrscheinlich sind

Q: 5% alle Schüler schreiben ab.
Mit welcher W. betrügen in einer Klasse mit 30 Schülern
5 Schüler ?
A: [$]p(X=5) = \binom{30}{5} \cdot 0.05^5 \cdot 0.95^{25}[/$]
GTR
BinomialPD(5,30,0.05)  = 1,2%

Q: 5x Würfeln
Mit welcher W. sind genau die ersten zwei Würfe eine "6"
A: A = { 6 , 6 , n6 , n6 , n6 }
[$]p(A) = \frac 16^2 \cdot \frac 56 ^3[/$]
p = 1,6%

Q: 10 % aller Schrauben sind  fehlerhaft.
Wie viele defekte Schrauben wird man in einer 300 Schachtel mit größter W. finden?
A: ca. 30

Q: 10% aller Lehrer lieben Rockmusik.
Mit welcher W. findet man bei 85 Lehrern mindestens 11 Begeisterte
A: p(X >= 11 ) = 1 - p(X <= 10 )
    Summenformel
=  1 - BinomialCD( 10, 85 , 0.1 )
= 1 - 0,772  =   22,8%

Q: Aus einer Urne mit 3 roten 7 blauen Kugeln werden 2 Kugeln gezogen.
Berechne die W., dass beide Kugeln rot sind.
a) mit Zurücklegen
b) ohne Zurücklegen
A: A = ( r , r )
a) [$]\frac3{10} \cdot \frac3{10}= 0,09[/$]
b) [$] \frac3{10} \cdot \frac2{9} = 0,067[/$]

Q: Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 Elemente anzuordnen?
A: 4·3·2·1  = 4! =  24

Q: Bei Blumenzwiebeln keimen garantiert 92%.
Mit welcher W. keimen bei einer 80er Packung
zwischen 70 und 75 Zwiebeln?
A: p(70 <= X <= 75) =
B(75,80,0.92) - B(69,80,0.92) = 0,723
GTR  BinomialCD(k,n,p)

Q: Ein Würfel besitzt die Augenzahlen
{  2, 3, 3, 3 , 5  ,6 }
Max würfelt 20 mal und addiert jeweils die Augenzahl.
Welche Summe dürfte er erhalten?
A: pro Wurf kann er erwarten:
[$]E(x)= 2 \cdot \frac 16 + 3 \cdot \frac 36 + 5\cdot \frac 16 + 6 \cdot \frac 16[/$]
E(X) = 3,667  pro Wurf
also ca. 73 bei 20 Würfen

Q: Ein Würfel hat die
Augenzahlen  { 1, 1, 2, 2, 2, 6 }
Max würfelt  3 dreimal.
Mit welcher W. ist die Augensumme 5?
A: 5 = 2+2+1     einzige Möglichkeit
[$] p(5) =3 \cdot ( \frac 36 \cdot \frac36 \cdot \frac 26 ) [/$]
p(5) = 0,25

Q: In einer Urne sind  8 Kugeln.
4 rote, 3 gelbe , 1 blaue.
Man zieht 2 Kugeln gleichzeitig.
Mit welcher W. haben sie verschiedene Farben?
A: Gegenereignis:   gleiche Farbe
 [$]p = 1 -( \frac 48 \cdot \frac 37 + \frac 38 \cdot \frac27)[/$]
p = 1 - 0,321 = 67,9%

Q: Würfelspiel Einsatz 4€ pro Wurf.
Ausgezahlt wird die Augenzahl in €.
Untersuche die Gewinnchance
A: E(x) = (1+2+3+4+5+6)* 1/6
E(X) = 3,5€ pro Spiel
Pro Spiel wird man 50 Cent Verlust machen

Q: Wie ist der Binomialkoeffizient definiert ?
[$]\binom mn[/$]
A: [$]\binom mn = \frac {m!}{(m-n)! \cdot n!}[/$]

Q: Berechne
[$]\binom 64[/$]
A: [$]\binom 64 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac {6\cdot 5}{2!}[/$]
=15

Q: Wie viele Möglichkeiten gibt es in einer Klasse mit 16 Schülern den 1. und den 2. Sprecher zu wählen?
A: 16•15  = 240

Q: 3 Schüler haben 5 Stühle zur Auswahl. Wie viele Sitzmöglichkeiten gibt es?
A: [$]\binom 53 = \frac{5!}{2!\cdot 3!}[/$]
= 5C3  = 10

Q: 3 x würfeln
Mit welcher W. erhält man
genau zwei "6er"
A: [$]\binom 32 \cdot (\frac 16)^2 \cdot (\frac 56)^1 [/$]
= b(2,3,1/6)  = 0,069

Q: 3 x würfeln
Mit welcher W. erhält man
mindestens zwei "6er"
A: p(X=2) +p(X=3)
= b(2,3,1/6) + b(3,3,1/6) =
= 0,0694 + 0,0046
= 0,074

Q: Spiel  1x würfeln
Einsatz 4€  man erhält die AZ als Gewinn
Ist das Spiel fair?
A: Erwartungswert
E(x) = Summe x_i•p_i
_
E(X) = (1+2+3+4+5+6) • 1/6  = 3,5
also verliert man   ca 0,5€  pro Spiel

Q: Max  2 Prozent aller Schrauben sollen defekt sein.
Bestimme mittels eines Tests bei einer Schachtel mit 200 Schrauben
den Ablehnungsbereich.
Irrtumswahrscheinlichkeit   5%
A: H_o:   p <= 0,02   ;
H_1:  p > 0,02    also rechtsseitiger Test
n = 100,  X Zahl der def. Schrauben
p(X >= g)  <= 0,05
0,95 <=  p(x <=  g-1)
InvBinominalCD(0.95, 200, 0.02 ) = 15
Ablehnung  [ 16, 17, ... , 200]

Q: Mindestens  10 Prozent aller Menschen haben Herpes.
Bestimme mittels eines Tests bei  500 Schülern
den Ablehnungsbereich.
Irrtumswahrscheinlichkeit   5%
A: H_o:   p >= 0,10   ;
H_1:  p < 0,10    also linksseitiger Test
n = 500,  X Zahl der Schüler mit Herpes
p(X <= g)  <= 0,05
InvBinomialCD(0.05, 500, 0.10 ) = 17
Ablehnung = [ 0, 1, 2 , ... , 16]

In einer Urne sind 4 rote und 6 gelbe Kugeln.
Man zieht 2 Kugeln mit zurücklegen.
Zeichne ein Baumdiagramm

Q: Wie oft muß man mindestens würfeln um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine "3" zu würfeln?
A: p(X >= 1) >= 0,9
1- p(X =0) >= 0,9
0,1  >= B(0,x, 1/6)
Tabelle ablesen   n = 13

Q: Erwartungswert E einer binomialverteilten Zufallsgröße
A: E(X) = np

Q: Was ist die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße
A: [$]\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}[/$]
Maß für die Streuung um den Erwartungswert

Q: 18 x würfeln
Wie viele "5" kann man erwarten ?
Wie groß ist sigma
A: Erwartungswert
[$]\mu = n \cdot p = 18 \cdot \frac 16 = 3[/$]
[$] \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{18 \cdot \frac16 \cdot \frac 56}[/$]
 = 1,56

Q: Was sagt die Sigma Regel?
A: Bei einer Binomialverteilung liegen
um den Erwartungswert gestreut
68 % der Werte in einer 1-S Umgebung
95 % der Werte in einer 2-S Umgebung
99 % der Werte in einer 3-S Umgebung

Q: Was ist bei einem Test ein Fehler 1.Art
A: Irrtumswahrscheinlichkeit  alpha
Eine korrekte Nullhypothese H_o wird abgelehnt

Q: Was ist bei einem Test ein Fehler 2.Art
A: beta
Eine fehlerhafte Nullhypothese  H_o  wird akzeptiert

Q: 80% aller Schüler lernen Französisch.
Wie viele Franzosen kann man unter 200 Schülern erwarten?
Wie groß ist Sigma
A: E(X) = np = 200*0,8 = 160
[$]\sigma = \sqrt{200 \cdot 0,8 \cdot0,2} = 5,66[/$]

Q: Ein Würfel wird 111 mal geworfen
Wie oft wird die "6" mit 90% W. mindestens auftreten?
A: X ist binomialverteilt
p( x >=k) >= 0,9
1-p(x<= k-1) >= 0,9
0,1 >= p(X<=k-1)
Tabelle k-1 = 13    also k = 14

Q: Das Glücksrad wird gedreht.
Berechne die W. für die 3 Farben
A: p(rot)    =  4/8
p(blau)  =   3/8
p(grün) =   1/8

Q: Rote Autos haben einen Marktanteil von 28%.
Von 215 Neuwagen sind 50 rot.
Teste mit Alpha = 10% ob der Marktanteil von Rot gesunken ist
A: H_o:   p = 0,28
H_1:  p < 0,28  also linksseitiger Test
n = 215  , a = 0,1
InvBinomialCD( 0.1 , 215, 0,28) = 52
Ablehnung = [ 0, 1 , ..... , 51 ]
50 liegt im Ablehnungsbereich

Q: HSM_1 hilft bei Schnupfen mit p = 2/3
Das neue HSM_2 soll besser sein.
Man testet 93 Patienten.
Bei wie vielen muß HSM_2 mindestens helfen, damit ein Verbesserung vorliegt?   ( alpha = 5% )
A: H_o:  p = 2/3
H_1: p> 2/3    also rechtsseitiger Test
n = 93  , alpha = 0,05
InvBinomialCD( 0.95 , 93 , 2/3 ) = 69
Ablehnung von H_o in [ 70, 71, ....  93 ]

Q: Eine Münze wird 100 mal geworfen und es fällt 41 mal Kopf.
Teste mit alpha 2,5% ob die Münze ideal ist.
A: H_o:  p = 0.5
H_1:  p < 0.5  also linksseitiger Test
n= 100 , alpha = 0.025
 p ( X <= g ) <= 0.025
InvBinomialCD( 0.025 , 100, 0.5 ) = 40
Ablehnung = [ 0, 1, 2 , ....  , 39 ]
H_o kann nicht abgelehnt werden

Q: Bei der OX-Maus soll das Geschlecht gleich verteilt sein.
Unter 103 OX-Mäusen findet man 45 männliche OX-Mäuse.
Teste die Behauptung mit alpha = 2%
A: H_o: p = 0.5
H_1: p < 0.5   linksseitiger Test
n = 103 , X Anzahl der männlichen OX
alpha = 0.02
p( X <= g ) <= 0.02
InvBinomialCD ( 0.02 , 103 , 0.5 ) = 41
Ablehnung = [ 0, 1, 2, ...   , 40 ]
H_o kann nicht abgelehnt werden

Q: Das Glücksrad wird 1x gedreht.
Gewinn:
5€  bei grün,  1€ bei blau  , 0,5€ bei rot
Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
A: Erwartungswert
[$]E = 5 \cdot \frac 16 + 1 \cdot \frac 26 + 0,5 \cdot \frac 36[/$]
E = 1,4166 €
Fair bei Einsatz  ca.  1,42 €

Q: Ein Würfel ist aufgeklappt:
Es wird 2x gewürfelt.
Bestimme den Stichprobenraum
( alle möglichen Ausgänge)
A: S = { 11, 12, 13, 21, 22, 23 , 31, 32, 33 }

Q: Ein Würfel zeigt aufgeklappt:
Es wird 2x gewürfelt.
Mit welcher W. ist die AZ des 1. Wurfes kleiner als die des 2.Wurfes?
A: A = { 12 , 13 , 23 }
 [$]p = \frac 16 \cdot\frac 26 +\frac 16 \cdot\frac 36 +\frac 26 \cdot\frac 36 [/$]
p(A) = 11 / 36 = 0,305

Q: Das Rad wird 2x gedreht.
Mit welcher W. ist genau die
erste Farbe grün?
A: A = { gg*}
[$]p= \frac 16 \cdot \frac 56 = \frac 5{36}[/$]

Q: Das Rad wird 3x gedreht.
Mit welcher W. kommt
1x grün und 2x blau
A: [$]p= 3 \cdot \frac 16 \cdot \frac 26[/$]

Q: Ein Würfel hat diese AZ.
Der Würfel wird 20x geworfen und die AZ werden addiert. Welche Summe kann man erwarten?
A: Augensumme = 16
pro Wurf kann man 16/6  erwarten.
20* 16/6  =  53,3

Q: Wie berechnet man bei einem linksseitigen Test den Ablehnungsbereich mit dem GTR
A: InvBinominalCD( alpha , n , p ) = 7
Ablehnung [ 0, 1, ...  , 6 ]

Q: Wie berechnet man bei einem rechtsseitigen Test den Ablehnungsbereich mit dem GTR
A: InvBinominalCD ( 1-alpha, n , p) = 13
Ablehnung= [ 14 , 15 , ... , n ]

Q: 12 Leute machen einen Ausflug und 3 von ihnen schmuggeln Zigaretten.
Der Zoll kontrolliert 4 Personen.
Mit welcher W. erwischt er keinen Schmuggler?
A: A = { 0000 }
[$]p = \frac 9{12} +\frac 8{11} +\frac 7{10} +\frac 6{9}  [/$]

Q: 12 Leute machen einen Ausflug und 3 von ihnen schmuggeln Zigaretten.
Der Zoll kontrolliert 4 Personen.
Mit welcher W. erwischt er genau einen Schmuggler?
A: A ={ 0001, 0010, 0100, 1000 }
[$]p= 4 \cdot \frac 9{12}\cdot \frac 8{11}\cdot \frac 7{10}\cdot \frac 39[/$]
p= 0,509

Q: 12 Leute machen einen Ausflug und 3 von ihnen schmuggeln Zigaretten.
Der Zoll kontrolliert 4 Personen.
Mit welcher W. erwischt er alle Schmuggler?
A: A ={ 1110, 1101, 1011, 0111 }
[$]p= 4 \cdot \frac 3{12}\cdot \frac 2{11}\cdot \frac 1{10}\cdot \frac 99[/$]
p= 0,022

Q: man sieht Binomialverteilungen
mit p = 0.2, p=0.5 und p= 0.8
ordne den Bilder ihre W. p zu.
A: Bild 1  p = 0.8
Bild 2  p = 0.2
Bild 3  p = 0.5

Q: In einer Urne sind 3 rote und 5 blaue Kugeln
Man zieht 3 Kugeln  mit / ohne Zurücklegen
Mit welcher W. ist mindestens eine Kugel rot
A: X gezogene Kugel ist rot
p(X >= 1) = 1 - p(X=0)
a) mit Zurücklegen
[$]p= 1-\frac 58 \cdot\frac 58 \cdot\frac 58 [/$]
b) ohne Zurücklegen
[$]p= 1-\frac 58 \cdot\frac 47 \cdot\frac 36 [/$]

Q: Flugzeug A ist 2-motorik
Flugzeug B ist 4-motorik
A benötigt mindestens 1
B benötigt mindestens 2 Motoren
Ein Motor ist zu 95% zuverlässig
a) Welches Flugzeug ist sicherer?
b) Wie zuverlässig müssten die Motoren bei B sein, damit beide Flugzeuge gleich sicher wären
A: Absturz bei
A = { 00 }
B = { 0000, 1000, 0100,0010, 0001}
a)
p(A) = 0.05^2 = 0.0025
p(B) = 0.05^4 + 4• 0.95 • 0.05^3 = 0.00048
b)  x^4 + 4•(1-x)•x^3 =  0.0025
GTR   x= 0.0875  => p_B = 91,25 %
B ist also sicherer

Q: In einer Urne sind s schwarze und 3 rote Kugeln.
2x Ziehen mit Zurücklegen
Wie viele Schwarze müssten es sein,
damit mit 56,25% zweimal schwarz gezogen wird?
A: (s+3) Kugeln
[$]p(ss) = \frac s{s+3} \cdot \frac s{s+3} = 0.5625[/$]
GTR   s = 9

Q: Wenn man diesen Würfel 20x wirft
und die AZ addiert soll man die
Summe 60 erwarten können.
Welche AZ fehlt?
A: [$]\frac{13+x}{6} \cdot 20 = 60[/$]
x = 5 = ?

Q: Man besteht einen Multiple Choice Test
mit 18 Fragen und je 3 Antwort-Möglichkeiten wenn mindestens 60% der Antworten richtig sind.
Mit welcher W. besteht Max, wenn er keine Ahnung hat?
A: min 60% von 18 richtig  also 11
BiniminalPD( 11, 18 , 1/3 ) = 1,1%