Title: Geometrie_1

Q: A(1|1|6) , B(0|-1|3) , C(4|6|12)
legen eine Ebene E fest.
Bestimme eine Normalform von E
A: 3x_1 - 3x_2 + x_3 - 6 = 0

Q: Wann sind 2 Geraden g und h windschief ?
A: g und h
1) sind nicht parallel
2) haben keinen Schnittpunkt

Q: wann sind die Geraden g und h  parallel ?
A: [$]\vec m_g = k \cdot \vec m_h[/$]

Q: Wie bestimmt man den Abstand
Punkt - Ebene ?
A: 1) HNF der Ebene aufstellen
2) die Koordinaten des Punktes in die HNF
    einsetzen  (Betrag)

Q: Welcher Punkt einer Ebene hat zum
Punkt P den kleinsten Abstand ?
A: 1) Lotgerade zur Ebene durch P aufstellen
2) Lotgerade mit der Ebene schneiden
     der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt

Q: Wie bestimmt man den Abstand
zweier windschiefer Geraden g und h ?
A: Hilfsebene H aufstellen welche die
Gerade h und den Richtungsvektor von g enthält.
g liegt dann parallel zu H.
Mit der HNF den Abstand eines Punktes von g zu H
bestimmen

Q: Wie bestimmt man die Schnittpunkte
einer Ebene mit den Hauptachsen
E:  x_1 + 2x_2 - 4x_3 + 8 = 0
A: Schnittpkt. mit der x_1-Achse:
setze  x_2 = 0  und   x_3 = 0
S_1(-8|0|0)  S_2(0|-4|0)  S_3(0|0|2)

Q: Gibt es einen Punkt in der Ebene E
E:  2x_1 + 3x_2 - 5x_3 +10 = 0
welcher 3 gleiche Koordinaten hat?
A: A(a|a|a) in  E-Gleichung einsetzen
2a + 3a - 5a + 10 = 0
10 = 0  Widerspruch
Antwort: nein

Q: Gibt es einen Punkt in der Ebene E
E:  2x_1 + 4x_2 - 5x_3 +10 = 0
welcher 3 gleiche Koordinaten hat?
A: A(a|a|a) in  E-Gleichung einsetzen
2a + 4a - 5a + 10 = 0
a + 10 = 0
also A(-10|-10|-10)

Q: Wie berechnet man den Winkel
zwischen den Vektoren
[$]\vec a , \vec b[/$]
A: [$]cos~ \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{ |\vec a | \cdot | \vec b |}[/$]

Q: Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen
zwei Geraden mit den
Richtungsvekoren
[$]\vec a  ,  \vec b[/$]
A: [$]cos~ \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{ |\vec a | \cdot | \vec b |}[/$]

Q: Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen
zwei Ebenen mit den Normalenvektoren
[$] \vec m  ;  \vec n [/$]
A: [$]cos ~\alpha = \frac{\vec m \cdot \vec n}{ |\vec m | \cdot | \vec n |}[/$]

Q: Wie berechnet man den Winkel
Gerade - Ebene
Richtungvektor  [$]\vec m [/$]
Normalenvektor  [$]\vec n [/$]
A: [$]sin~ \alpha = \frac{\vec m \cdot \vec n}{ |\vec m | \cdot | \vec n |}[/$]

Q: A(2|3|5)  ,  B(6|-2|8)
Berechne den Abstand der beiden Punkte
A: [$]d= \sqrt{4^2+(-5)^2+3^2}[/$]
[$]d = \sqrt {50}[/$]

Q: A(2|3|5)  ,  B(6|-2|7
 Mittelpunkt der Strecke AB
A: m_1 = (a_1+b_1) / 2   usw
M(4|0,5|6)

Q: A(2|3|5)  ,  M(1|-2|4)
M ist der Mittelpunkt der Strecke AB
Bestimme B
A: B(0|-7|3)
m_1 = 0,5(a_1 + b_1 )
also  b_1 = 2m_1 - a_1
B( 0 | -7 | 3 )

Q: [$]g:\;  \vec{x}=
\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}
+s \cdot
\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2\\ \end{pmatrix}[/$]
a) Liegt A(3|1|5) auf g ?
b) Welche Punkte auf g haben von  A  den Abstand d = 6
A: a)  ja  ( s=1)
b) P1(7|-1|9)  ,  P2(-1|3|1)
[$]g:\;  \vec{p_{1,2}}=
\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 5\\ \end{pmatrix}
\pm 6 \cdot \frac 13 \cdot
\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2\\ \end{pmatrix}[/$]

Q: Wie berechnet man den Abstand
Punkt P  -  Gerade g
A: 1) Hilfsebene durch P mit  n = m_g
2) H mit g schneiden  ==>  F
3) |PF| = d

Q: Wann verläuft eine Gerade
parallel zu einer Ebene ?
A: Richtungsvektoren sind senkrecht
[$]\vec n \cdot \vec m = 0[/$]

Q: Bei Sonnenschein wirft der Mast FS einen Schatten.
Berechne die Schattenlänge L
A: Gerade g durch S
mit Richtungsvektor der Sonne.
g mit der Wand schneiden.
L = |S*P| + |PF|

Q: Welcher Punkt einer Geraden g
hat von der Ebene E den Abstand d?
A: Q allg. Geradenpunkt
HNF von E aufstellen
d(Q,E) = d
liefert 2 Lösungen

Q: Ebene E
Gib eine Gleichung von E an
A: E:   x_1 + x_2 - 8  =  0

Q: Ebene H
Gib eine Gleichung von H an.
A: H:  4x_1 + 5x_2 + 8x_3  -  40 = 0

Q: Ebene G || x_1-Achse
Gib eine Gleichung von G an
A: G:  x_2 + x_3 - 5  =  0

Q: Bei Sonnenschein wirft der Mast
einen Schatten. Wo genau liegt
der Schatten S* der Mastspitze S
A: Gerade g durch S mit
Richtungsvektor v der Sonne
wird mit der Ebene geschnitten.

Q: [$]g:\;  \vec{x}=
\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}
+s \cdot
\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0\\ \end{pmatrix}[/$]
H:  x_1 + 2x_2 - 2x_3 - 5 = 0
Berechne den Schnittpunkt P
A: (1-s) + 2(2+2s) - 2(3) - 5 = 0
....
3s - 6 = 0   also  s=2
P(-1 | 6 | 3 )

Q: E:  x_1 + 2x_2  - 2x_3 - 5 = 0
H:  x_1 +  x_2  + 2x_3      = 0
A: setze x_3 = t
I)  x_1 + 2x_2 = 5 + 2t     I - II
II) x_1 + x_2   =    - 2t
------------------------------
           x_2   =  5 + 4t    in II)
x_1 = -5 - 6t
[$]g:\;  \vec{x}=
\begin{pmatrix} -5-6t\\ 5 + 4t\\ t\\ \end{pmatrix}[/$]
[$]g:\;  \vec{x}=
\begin{pmatrix} -5\\  5\\  0\\ \end{pmatrix}
+t \cdot
\begin{pmatrix} -6\\ 4\\ 1\\ \end{pmatrix}[/$]

Q: Bei Sonnenschein fliegt
ein Ballon von A nach B.
Bestimme seinen Schatten in der Ebene G
A: Einstrahlebene E aufstellen
durch A und B und Sonnenvektor v
a) E:  x = a + r•(b-a) + s•v
b) Normalform von E bestimmen
c) E und G schneiden

Q: Bei Sonnenschein fliegt
ein Ballon von A nach B.
Bestimme seinen Schatten in der Ebene G
A: a) die Schatten A* und B*
    von A und B bestimmen
b) Gerade durch A* und B*

Q: Welche Ebene der Schar
E_t :  x_1 + tx_2 + 2tx_3 + 2t = 0
ist senkrecht zur Geraden g
[$]g:\;  \vec{x}=
\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}
+s \cdot
\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}[/$]
A: Die beiden Richtungsvektoren sind parallel.
[$] \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 2t \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/$]
k = 0,5  , =>  t = 0,5

Q: Welche Ebene der Schar
E_t :  x_1 + tx_2 - 2tx_3 + 2t = 0
ist parallel zur Geraden g
[$]g:\;  \vec{x}=
\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}
+s \cdot
\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}[/$]
A: Die beiden Richtungsvektoren sind senkrecht.
[$] \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ -2t \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0[/$]
2 + t - 2t = 0
t = 2

Q: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Richtungsvektoren n und m
A: n ist orthogonal zu m
[$] \vec{n} \cdot \vec{m} = 0[/$]

Q: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Richtungsvektoren n und m wenn g senkrecht zu E ist?
A: n ist parallel zu m
[$]\vec{n}= k \cdot \vec{m} [/$]