Title: Analysis_2

Front: [$]f(x) = \frac{e^x-2}{e^x+1}[/$]
Bestimme die Asymptoten
Back: y = 1    ( für große x )
y = -2   ( für kleine x )

Front: [$]f(x) = 2x - 1  + \frac 1{x+1}[/$]
Bestimme die Asymptoten
Back: y = 2x - 1
x = -1

Front: [$]f(x) = 2x - 1  + \frac 2{x+1}[/$]
Zeige:
f besitzt genau 2 Nullstellen
Back: [$]f(x) = 2x - 1  + \frac 2{x+1}[/$]
[$]f = \frac{(2x-1)(x+1)+1}{x+1}[/$]
[$]f = \frac{2x^2+x}{x+1}[/$]
x(2x+1) = 0  besitzt genau 2 Lösungen

Front: Bestimme 2 Funktionen mit der
Asymptoten y = 3
Back: [$]f(x) = 3 + e^x[/$]
[$]g(x) = 3 + \frac 1x[/$]

Front: Suche eine Funktion
Back: f(x) = 4 sin (pi x)

Front: [$]f(x) = 3 \cdot cos (\pi x)[/$]
Berechne den Abstand eines Hochpunktes zum nächsten Tiefpunkt
Back: Periode p = 2
H(0 | 3) , T( 1 | -3 )
[$]d = \sqrt {37}[/$]

Front: [$]f(x) = x \cdot e^x[/$]
Berechne den Extrempunkt
Back: [$]f'(x) = e^x +  xe^x = e^x(1+x)[/$]
[$]T (-1 | - \frac 1e )[/$]

Front: [$]f(x) = x \cdot e^x[/$]
skizziere die Kurve

Front: [$]f(x) = x^2 \cdot e^x[/$]
skizziere die Kurve

Front: [$]f(x) = a \cdot e^{kx}[/$]
P(0|2) , Q(1|1) liegen auf der Kurve
bestimme a und k
Back: f(0) = a = 2
[$]f(1) = 2e^k = 1[/$]
[$]k = ln \frac 12[/$]

Front: [$]f(x) = x^2 \cdot e^x[/$]
Berechne die Extrempunkte
Back: [$]f'(x) = 2x e^x + e^x x^2 [/$]
[$]f'(x)= e^x \cdot x(2+x)[/$]
[$]T(0|0) ; H(-2| \frac 4{e^2} )[/$]

Front: finde eine passende Funktion
Back: Periode p = 2 ; Amplitude a = 2
[$]f(x ) = 2 \cdot sin (\pi x) [/$]

Front: [$]e^x - e = 0[/$]
Gib die Lösung an und zeige, dass es genau eine gibt.
Back: Lösung: x=1
Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und nimmt jeden pos Wert genau einmal an

Front: [$]e^x - 8e^{-x} - 2 = 0[/$]
Bestimme die Lösung
Back: [$]e^x - 8e^{-x} - 2 = 0  \;\; \big | \cdot  e^x[/$]
[$]Subst. \; \;   e^x = z[/$]
z² - 2z - 8 = 0
z1 = 4  ==> x = ln 4
z2 = -2        keine Lösung

Front: [$]sin ^2 x  - sin \,x = 0[/$]
Bestimme alle Lösungen
Back: sin x· (sin x - 1) = 0
[$]sin \, x = 0  =>  x_k = k \cdot \pi[/$]
[$]sin \,x = 1 =>  x_k = \frac {\pi}2 + 2k \pi[/$]

Front: finde eine Funktion
Back: f(x) = 2·sin(x-1) + 1

Front: Die Kurve von
[$]f(x) = e^x \;  ;  \;g(x) =e^{-x}[/$]
begrenzen mit der Geraden  x= 1  eine Fläche
Back: [$]\int \limits_0^1 e^x - e^{-x}\;dx[/$]
[$]\left[ e^x + e^{-x}\right]_{0}^{1}[/$]
[$]A = e + \frac 1e - 2[/$]

Front: wo ist die Funktion
[$]f(x) = e^x -x[/$]
monoton wachsend ?
Back: [$]f'(x) = e^x - 1[/$]
f'(x) > 0
also x > 0

Front: [$]K: \; f(x) = e^{-x}[/$]
besitzt die Fläche einen endlichen Wert
Back: [$]\int \limits _0^z e^{-x} \; dx[/$]
[$]=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{z} = -e^{-z}+1[/$]
= 1  ( für große z )

Front: [$]f(x) = e^x +x[/$]
untersuche auf Monotonie
Extrempunkte, Nullstellen
Back: [$]f'(x) = e^x +1 \;> 0[/$]
f ist stets streng monoton wachsend
keine Extrempunkte
genau eine Nullstelle

Front: expo. Wachstum
DGL und Lösung
Back: [$]f '(x) = k \cdot f(x)[/$]
Lösung
[$]f(x) = a \cdot e^{kx}[/$]

Front: beschränktes Wachstum
DGL und Lösung
Back: [$]f'(t) = k \cdot( S - f(t))[/$]
Lösung
[$]f(t) = S - c \cdot e^{-kt} [/$]

Front: lineares Wachstum
DGL und Lösung
Back: [$]f'(t) = k  , \;konstant[/$]
Lösung
f(t) = a + k·t

Front: ein Becken enthällt 100 Liter
pro Std fließen 6 Liter zu und 5% verdunsten
Back: f'(t) = 6 - 0,05 · f(t)
f'(t) = 0,05 ·(120 - f(t))
Lösung
[$]f(t) = 120 - 20 e^{-0,05t}[/$]

Front: 10000 € werden mit 2% verzinst.
wieviel erhält man nach 10 Jahren
Back: [$]K(10)= 10000 \cdot 1,02^{10}[/$]
= 121898,94 €

Front: 100 Würmer vermehren sich
pro Woche um 5 %
Berechne die Verdopplungszeit
Back: [$]100 \cdot 1,05^t = 200[/$]
[$]1,05^t = 2[/$]
[$]t = \frac {ln 2} {ln 1,05}[/$]
t = 14,2

Front: [$]f(x) = \frac{e^x+2}{e^x-1}[/$]
Bestimme die Asymptoten
Back: y = 1
y = -2
x = 0

Front: [$]f(x) = \frac{e^x-2}{e^x+1}[/$]
Bestimme die Definitionsmenge
Back: D = R

Front: [$]f(x) = \frac{e^x-3}{e^x-1}[/$]
Bestimme die Asymptoten
Back: D = R \ {0}

Front: [$]f(x) = e^{x+1}[/$]
Bestimme die Tangente
im Kurvenpunkt  B( 0 | ? )
Back: f(0) = e  , f'(0) = e
t. y = e·(x - 0) + e
y = ex + e

Front: [$]f(x) = e^{-x^2}[/$]
welche Parabel vom Grad_2
stimmt mit f an der Stelle x=0
im Wert der Funktion und der 1. und 2. Ableitung überein?
Back: [$]f'(x) = -2xe^{-x^2}[/$]
[$]f''(x) = (4x^2 - 2) \cdot e^{-x^2}[/$]
p(x) = ax² + bx + c
p'(x) = 2ax +b
p''(x) = 2a
p(0) = f(0)
p'(0) = f'(0)
p''(0) = f''(0)
Lösung:  p(x) = -x² + 1

Front: 1000 Bakterien vergrößern ihre Anzahl alle 3 Std. um 5%
Gib die Wachstumsfunktion an
( t in Std. )
Back: [$]b(t)=1000\cdot 1,05^{ \frac13 \cdot t}[/$]
Zeit t in Std.

Front: Schreibe als e-Funktion
[$]W(t) = 500 \cdot 1,15^t[/$]
Back: [$]W(t) = 500 \cdot e^{ln 1,15 \cdot t}[/$]
[$]W(t)= 500 \cdot e^{1,1398 \cdot t }[/$]

Front: g(x) = f(x-2)
welche Kurve ist f, welche g ?
Back: f ist rot
g ist blau

Front: Die rote Kurve ist f.
Wie hängen die blaue und grüne Kurve von f ab
Back: blau
g(x) = f(x-3)
grün
h(x) = g(x)+1
h(x) = f(x-3) + 1

Front: Finde eine passende Funktion
Exponentialfunktion
[latex][\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
N & 150 & 140 & 128 & 115 & 110  & 100 \\
\end{tabular}
\end{minipage}[/latex]
Back: mit GTR Statistik Regression
[$]n(t) = 150 \cdot e^{-0,08 \cdot t}[/$]

Front: Bakterien sterben ab.
[$]f(t) = 150 \cdot e^{-0,08 \cdot t}[/$]
In welchem Zeitraum von 2 Stunden
sinkt die Zahl um 15 ?
Back: f(x) - f(x+2) = 15
GTR
t = [4,89 .. 6,89 ]